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四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5-x) = f (5+x),則f (x)一定是( )

(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f (10+x)為偶函數(shù)，∴f (10+x) = f (10-x).

∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。

故選(A)

例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x-1)和g-1(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。

(A)1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。

解：∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，

∴y = g-1(x-2) 反函數(shù)是y = f(x-1)，而y = g-1(x-2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,應(yīng)選(C)

例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1-x),當(dāng)-1≤x≤0時，

f (x) = -x，則f (8.6 ) = _________

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f(x)對稱軸;

又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

例4. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= -f(x),當(dāng)0≤x≤1時，

f (x) = x，則f (7.5 ) = ( )

(A) 0.5(B)-0.5(C) 1.5(D) -1.5

解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(0，0)是其對稱中心;

又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。

∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故選(B)

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