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函數(shù)是中學數(shù)學的核心內容，函數(shù)也是一個重點和難點。中公教育專家通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關的性質。
一、函數(shù)自身的對稱性探究
定理1、函數(shù) y = f (x)的圖像關于點A (a ,b)對稱的充要條件是
f (x) + f (2a-x) = 2b
證明：(必要性)設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱點P‘(2a-x，2b-y)也在y = f (x)圖像上，∴ 2b-y = f (2a-x)
即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得證。
(充分性)設點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b，即2b-y0 = f (2a-x0) 。
故點P‘(2a-x0，2b-y0)也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P‘關于點A (a ,b)對稱，充分性得征。
推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (-x) = 0
定理2、 函數(shù) y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是
f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (證明留給讀者)
推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (-x)
定理3、①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱(a≠b)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個周期。
②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 (a≠b)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個周期。
③若函數(shù)y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱(a≠b)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個周期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函數(shù)y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱，
∴f (x) + f (2a-x) =2c，用2b-x代x得：
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)
又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，
∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得：
f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**)，用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得：
f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個周期。
二、不同函數(shù)對稱性的探究
定理4、函數(shù)y = f (x)與y = 2b-f (2a-x)的圖像關于點A (a ,b)成中心對稱。
定理5、①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a-x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。
②函數(shù)y = f (x)與a-x = f (a-y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。
③函數(shù)y = f (x)與x-a = f (y + a)的圖像關于直線x-y = a成軸對稱。
定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③
設點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關于直線x-y = a的軸對稱點為P‘(x1， y1)，則x1 = a + y0 , y1 = x0-a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴點P‘(x1， y1)在函數(shù)x-a = f (y + a)的圖像上。
同理可證：函數(shù)x-a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線x-y = a的軸對稱點也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。
推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。
三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表
函數(shù)對稱中心坐標對稱軸方程
y = sin x( kπ, 0 )x = kπ+π/2
y = cos x( kπ+π/2 ,0 )x = kπ
y = tan x(kπ/2 ,0 )無
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有對稱中心坐標應該是(kπ/2 ,0 )，也有相關專家認為y = tan x的所有對稱中心坐標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。
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