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二、不同函數(shù)對(duì)稱性的探究
定理4、函數(shù)y = f (x)與y = 2b-f (2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)成中心對(duì)稱。
定理5、①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a-x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱。
②函數(shù)y = f (x)與a-x = f (a-y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對(duì)稱。
③函數(shù)y = f (x)與x-a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x-y = a成軸對(duì)稱。
定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③
設(shè)點(diǎn)P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0)。記點(diǎn)P( x ,y)關(guān)于直線x-y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)為P‘(x1， y1)，則x1 = a + y0 , y1 = x0-a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴點(diǎn)P‘(x1， y1)在函數(shù)x-a = f (y + a)的圖像上。
同理可證：函數(shù)x-a = f (y + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x-y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。
推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱。
三、三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性列表
函數(shù)對(duì)稱中心坐標(biāo)對(duì)稱軸方程
y = sin x( kπ, 0 )x = kπ+π/2
y = cos x( kπ+π/2 ,0 )x = kπ
y = tan x(kπ/2 ,0 )無(wú)
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是(kπ/2 ,0 )，也有相關(guān)專家認(rèn)為y = tan x的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)是( kπ, 0 )，這明顯是錯(cuò)的。
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