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函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，函數(shù)也是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。欣瑞教育專家通過(guò)函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面來(lái)探討函數(shù)與對(duì)稱有關(guān)的性質(zhì)。
一、函數(shù)自身的對(duì)稱性探究
定理1、函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)對(duì)稱的充要條件是
f (x) + f (2a-x) = 2b
證明：(必要性)設(shè)點(diǎn)P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P( x ,y)關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)的對(duì)稱點(diǎn)P‘(2a-x，2b-y)也在y = f (x)圖像上，∴ 2b-y = f (2a-x)
即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得證。
(充分性)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b，即2b-y0 = f (2a-x0) 。
故點(diǎn)P‘(2a-x0，2b-y0)也在y = f (x) 圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P‘關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)對(duì)稱，充分性得征。
推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f (x) + f (-x) = 0
定理2、 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱的充要條件是
f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (證明留給讀者)
推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f (x) = f (-x)
定理3、①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A (a ,c)和點(diǎn)B (b ,c)成中心對(duì)稱(a≠b)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個(gè)周期。
②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱 (a≠b)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個(gè)周期。
③若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A (a ,c) 成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱(a≠b)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個(gè)周期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A (a ,c) 成中心對(duì)稱，
∴f (x) + f (2a-x) =2c，用2b-x代x得：
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)
又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對(duì)稱，
∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得：
f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**)，用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得：
f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個(gè)周期。
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