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1.已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且|q|>1，又知a2、a3的等比中項(xiàng)為42,a1、a2的等差中項(xiàng)為9。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=an·log12an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求limn→∞Tn+n·2n+1an+2的值。
【參考答案】
解：(1)由已知，得a2·a3=(42)2=32a1+a4=2×9=18
∵{an}是等比數(shù)列且公比為q,
∴a21·q3=32a1+a1q3=18,解得a1=2q=2或a1=16q=12
又|q|>1∴a1=2q=2 從而an=2·2n-1=2n
(2)∵bn=an·log12an=-n·2n(n∈N*)
Tn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n) ①
2Tn=-(1·22+2·23+…+n·2n+1) ②
②-①得Tn=(2+22+…+2n)-n·2n+1
∴Tn=(1-n)·2n+1-2
limn→∞Tn+n·2n+1an+2=limn→∞2n+1-22n+2=12
2.某超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，規(guī)定如下：
(1)若一次購(gòu)物不多于200元，則不予優(yōu)惠;
(2)若一次購(gòu)物滿(mǎn)200元，但不超過(guò)500元，按標(biāo)準(zhǔn)給予9折優(yōu)惠;
(3)若一次購(gòu)物超過(guò)500元，其中500元以下部分(包括500元)給予9折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予8折優(yōu)惠。
小李兩次去該超市購(gòu)物，分別付款198元和554元，現(xiàn)在小張決定一次性地購(gòu)買(mǎi)和小李分兩次購(gòu)買(mǎi)的同樣多的物品，他需付多少元?
【參考答案】
解：小李第一次購(gòu)物付款198元，有兩種情況：①?zèng)]有享受打折，直接付款198元;②享受打折后，付款198元。因此，解答此題應(yīng)分兩種情況分別討論。
①當(dāng)198元為購(gòu)物不打折付的錢(qián)時(shí)，現(xiàn)購(gòu)物品原價(jià)為198元。
設(shè)小李第二次購(gòu)物的原價(jià)為x元。則根據(jù)題意，列方程：
500×90%+(x-500)×80%=554
解得：x=630
于是小李兩次購(gòu)物的原價(jià)共為：
198+630=828(元)。
小張一次性購(gòu)買(mǎi)這些物品應(yīng)付：
500×90%+(828-500)×80%=712.4(元)
②當(dāng)198元為購(gòu)物打折后付的錢(qián)，設(shè)購(gòu)該物品的原價(jià)為x元，則根據(jù)題意列方程得：
x·90%=198
解得：x=220
又第二次購(gòu)物的原價(jià)為630元，于是小李兩次購(gòu)物的原價(jià)共為：
630+220=850(元)
小張一次性購(gòu)買(mǎi)這些物品應(yīng)付：
500×90%+(850-500)×80%=730(元)
答：小張需付712.4元或730元。
3. 甲、乙兩同學(xué)用一副撲克牌中牌面數(shù)字分別是3、4、5、6的4張牌做抽數(shù)字游戲。游戲規(guī)則是：將這4張牌的正面全部朝下，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，抽得的 數(shù)作為十位上的數(shù)字，然后，將所抽的牌放回，正面全部朝下，洗勻，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，抽得的數(shù)作為個(gè)位上的數(shù)字，這樣就得到一個(gè)兩位數(shù)。若這個(gè)兩位數(shù)小 于45，則甲獲勝，否則乙獲勝。你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)運(yùn)用概率知識(shí)說(shuō)明理由。
【參考答案】
解：這個(gè)游戲不公平，游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表：
第二次第一次
3456
333343536
443444546
553545556
663646566
表中共有16種可能結(jié)果，小于45的兩位數(shù)共有6種。
∴P(甲獲勝)=616=38，P(乙獲勝)=1016=58。
∵38≠58，
∴這個(gè)游戲不公平。
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